在工科领域，人们常认为三维空间中的物体拥有六个自由度。然而，这并不意味着所有机床都必须具备六个轴才能实现任意角度加工。实际上，五轴联动数控机床已经足够处理复杂形状的加工任务。

传统三轴机床在加工包含多孔或复杂表面部件时，需要使用特殊夹具和多次变换来确保工具能够从不同方向接触到材料。而五轴联动数控机床则可以通过单次装夹即可完成高速、高精度的加工。

关键在于如何描述刀具（或测头）的位置和姿态。在三轴数控机床中，虽然刀具位置变化，但其姿态固定；而五轴机床增加了两个旋转轴，使得刀具（或测头）的位置和姿态都能改变。这种变化是通过“刀轴矢量”概念实现的，它是一个描述刀工具相对于坐标系原点的单位向量，可以表示为(i, j, k)，其中每个元素对应X、Y、Z三个直线方向上的投影值。

这个矢量模长为1，因此它构成一个球面，而任何方向都可以通过两个不共线旋转轴得到。这与地球经纬度描述方式类似，只需两个独立参数就能确定任意球面点。此外，由于两种坐标系（球坐标系和直角坐标系）存在隐式约束，所以尽管有三个坐标值，但仍然只需要两个自由度来描述。

因此，只需在三维空间中增加两个旋转自由度，就可以使得工具从任意方向接近工件，从而实现任意复杂曲面的加工。这样的数控机床就是所谓的五轴联动数控机床，其核心技术依赖于精确控制这两个额外的旋转运动，以配合主流程中的X、Y、Z直线运动。

最后，对图形学中欧拉角的问题进行补充：飞機姿態通常由三个欧拉角—偏航(pitch)、俯仰(roll)及翻滚(yaw)—来定义，因为飛機運動涉及到這些不同的轉軸。如果將飛機翻滾定義為roll，那麼該roll角我們是不關心，因為對於一個特定的切割路徑來說，我們不關心切割器械沿著自己軸線上的旋轉。但是，如果我們考慮的是一個更廣泛的情況，比如複雜幾何形狀之間的小動作，這時候第三個自由度可能會非常重要，並且不能忽略掉。在這種情況下，每個歐拉角都是必不可少的，因為它們允許進行更精細控制，即使是在相同平面的內部移動中也能實現微小變化。