在工科领域，人们常常会被一个概念所困扰：三维空间中的物体具有6个自由度。想象一下这样一个场景：

图中展示的是右手坐标系，这六个自由度分别是沿着X、Y、Z三个轴的直线移动，以及绕这三个轴旋转。然而，这一概念往往导致误解：因为一个物体有6个自由度，所以机床必须拥有6个轴才能实现任意角度加工。这是一个谜题。

传统的三轴机床在处理包含复杂表面或多孔结构的零件时，需要使用特殊夹具，并且进行多次操作变换。而五轴联动数控机床则能够在单次装夹下完成高速、高精度加工复杂形状。

关键在于刀具（或测头）如何接近工作件。通过控制刀具（或测头）的位置和姿态来实现工作件加工（或测量）。因此，问题的核心是如何描述刀具（或测头）的位置和姿态。

三轴数控机床虽然其刀具（或测头）的位置变化，但其姿态固定，如立式三轴机床，其刀架方向始终沿着Z轴方向。在X、Y、Z三个直线轴上的坐标值足以确定刀具（或测头）的位置和姿态。

五轴数控机床通常是在三軸機床基礎上增加了兩個旋轉軸，即A、B两个额外的旋转軸，可以组成不同的组合，比如A+B等。由于这两个额外的旋转軸，使得刀具（或測頭）的位置和姿態都會发生變化。但是，它們可以通過一個稱為「工具軸向量」的概念來描述，這是一個3D單位向量，其中每個元素代表了工具軸在直線軌跡X、Y、Z方向上的投影值。

這樣，用兩個旋轉軌跡中的任意一個來描述球面的任何點就能夠確定該點朝著直線軌跡X、Y、Z方向進行投影，這就是用於描述工具性能狀態的一種方法。一旦這兩個數據被給定，就能透過運動學反求算出這兩個額外ROTATION AXES各自應有的角度，並結合XYZZXYZXYZXYZXYZYZ六條直線AXYZXYZZZXXYYZZYZZZXXXZYZZZYXXYYYYYYYZZXYXXXYYXXXXYYYYYYXXXXYYYYYYXXXX YYYY XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX XXXXXX XXX XXXXXXX X X X XX XX XX XY YY ZZ XYZ XYZ XYZ Y Z Y Z Y Z X 2 + Y 2 + Z 2 = 1 的隐性约束来控制这两个额外ROTATION AXES以及剩下的三个直接AXIS，以确保工具到达预定的位姿。

简而言之，只需将原本基于两条直线AXIS基础上的系统扩展为四条 直线axis+两条 rotation axis即可实现从空间中任何角度接触目标对象，从而进行任意复杂曲面的切割与检测，而这个过程依赖于对运动学反求解算法以及精确伺服控制系统支持。此类增设rotation axis并实现在单一次装夹下执行复杂形状部件高效加工特征使其成为我们称之为"五-axis CNC machine"的一个典型例子。